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Epsilon Delta Kriterium metrische Räume

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So sehen wir intuitiv, dass das Epsilon-Delta-Kriterium bei Sprüngen im Graphen nicht erfüllt ist. Damit charakterisiert das Epsilon-Delta-Kriterium die Tatsache, dass der Funktionsgraph an der betrachteten Stelle keinen Sprung macht. Es ist eine Definition der Stetigkeit. Da in diesem Kriterium nur bereits definierte mathematische Begriffe verwendet werden, genügt es den Anforderungen einer formalen Definition In der Mathematik ist eine stetige Abbildung oder stetige Funktion eine Funktion, bei der hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich ziehen. Formalisieren kann man diese Eigenschaft mit der Vertauschbarkeit der Funktion mit Grenzwerten oder mit dem ε {\displaystyle \varepsilon } - δ {\displaystyle \delta } -Kriterium. Anschaulich gesprochen ist eine reelle stetige Funktion y = f {\displaystyle y=f} dadurch. Der Begriff topologischer Raum verallgemeinert den Begriff metrischer Raum: Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum. Ein topologischer Raum heißt metrisierbar, wenn er zu einem metrischen Raum homöomorph ist

Epsilon-Delta-Kriterium der Stetigkeit - Serlo „Mathe für

Sei (X, d) (X,d) (X, d) ein metrischer Raum. Eine Folge ( a n ) ⊂ X (a_n) \subset X ( a n ) ⊂ X heißt genau dann konvergent , wenn es ein a ∈ X a \in X a ∈ X derart gibt, dass für alle ε > 0 \varepsilon > 0 ε > 0 ein n ε ∈ N n_{\varepsilon} \in \N n ε ∈ N mit der Eigenschaft d ( a , a n ) ≤ ε d(a,a_n)\leq \varepsilon d ( a , a n ) ≤ ε für alle n ≥ n ε n \geq n_{\varepsilon} n ≥ n ε existiert Sei eine Menge und seien , Topologien auf . heißt feiner als , wenn jede offene Menge auch offen in ist, also .Die Topologie heißt dann gröber als. Die feinere Topologie enthält also mehr offene Mengen und verleiht dem Raum damit eine stärkere Struktur. Wenn man sich vorstellt, dass die offenen Mengen eine Art Lupe bilden, mit der man auf die Punkte des Raumes sieht, so hat man in. 5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei Xeine Menge. Eine Abbildung d: X X! R + heißt Metrik oder Distanz (auf X), falls für alle x;y;z2 Xgilt (a) Dreiecksungleichung d(x;z) 6 d(x;y)+d(y;z) (b) Symmetrie d(x;y) = d(y;x) (c) Trennung d(x;y) = 0 x= y. Man sagt, daßdas Paar (X;d) oder einfach X, wenn die Metrik dklar bestimmt ist, ei Separable metrische Räume und abzählbare Basen Eine bemerkenswerte Eigenschaft der reellen Zahlen ist die Existenz einer abzählbaren dichten Teilmenge. Die Menge ℚ der rationalen Zahlen hat mit jeder ε-Umgebung U ε (x) einen nichtleeren Durchschnitt, sodass jede reelle Zahl der Grenzwert eine Folge rationaler Zahlen ist

Stetige Funktion - Wikipedi

Die Abbildung ist eine Metrik auf \mathbb {R}. Die metrischen Räume (\mathbb {R}, d_1) und (\mathbb {R}, d_2) sind äquivalent. Der metrische Raum (\mathbb {R}, d_2) ist nicht vollständig Satz 1.2.3 (Eigenschaften o ener Mengen) In jedem metrischem Raum (X;d) haben die o enen Mengen immer folgende drei Eigenschaften: (O1) ;und Xsind o en. (O2) Die ereinigungV eliebigb vieler o ener Mengen ist wieder o en. (O3) Der Durchschnitt endlich vieler o ener Mengen ist wieder o en. De nition 1.2.4 Sei (X;d) metrischer Raum. Eine Menge AˆX heiÿt abgeschlossen , wenn Xn Definition: vollständige metrische Räume \( (\mathbb{R}^d, \|\cdot\| ) \) ist vollständig; Abgeschlossene Mengen (06.05.2014) Definition: \(A\) ist abgeschlossen in \((M,d)\), wenn \( M \setminus A \) offen ist. Definition, Eigenschaften und Beispiele für: Abschluß, Rand, Inneres; Charakterisierung von Abgeschlossenheit durch konvergente Folge About Press Copyright Contact us Creators Advertise Developers Terms Privacy Policy & Safety How YouTube works Test new features Press Copyright Contact us Creators.

Fertigstellung . Für jeden metrischen Raum M kann man einen vollständigen metrischen Raum M ' (der auch als M bezeichnet wird ) konstruieren , der M als dichten Unterraum enthält .Es hat die folgende universelle Eigenschaft : Wenn N ein vollständiger metrischer Raum ist und f eine gleichmäßig kontinuierliche Funktion von M nach N ist , dann existiert eine eindeutige gleichmäßig. ist ein metrischer Raum. 2. Der metrische Raum C[a;b] besteht aus allen stetigen Funktionen f: [a;b] ! C mit der Metrik d 1(f;g) = max x2[a;b] jf(x) g(x)j: De nition 1.2 Sei (X;d) ein metrischer Raum und Aeine Teilmenge von X. 1. Die Menge U (a) := fx2X: d(x;a) <g wird -Umgebung des Punktes a2Xgenannt. 2. Ein Punkt a2Aheiˇt isolierter Punkt der Menge A, wenn es eine

Metrischer Raum - Wikipedi

Lösungen zu den Aufgaben Beispiele metrischer Räume Lösung zur Aufgabe 9.1.6 - Standardmetrik Lösung zur Aufgabe 9.1.7 - Standardmetrik in \( \mathbb C \) Lösung zur Aufgabe 9.1.8 - Eine Metrik aus inversen Elementen Lösung zur Aufgabe 9.1.9 - Diskrete Metrik Lösung zur Aufgabe 9.1.10 - Die französische Eisenbahnmetrik Lösung zur Aufgabe 9.1.11 - Eine Metrik mit dem natürlichen. 1) Sei (M;d) ein metrischer Raum, Aˆ M. Dann ist (A;d) ebenfalls ein metri-scher Raum. 2) Jede Menge ist metrisierbar mit der diskreten Metrik d(x;y) = (1 x6= y 0 sonst: Beispiel. Wir betrachten einige metrische R aume: 1. M= R; d(x;y) = jx yj. 2. Der Raum Saller Folgen fx: N ! Rg = fx= (xj)jjxj 2 Rg: sei x= (xj) und y= (yj) 2 S. De niere die Funktion d(x;y) = X In jedem metrischen Raum bilden die o enen Kugeln eine Basis der von der Metrik induzierten Topologie. Wir k onnen uns im Rnsogar auf die Ku-geln mit rationalen Mittelpunkten und rationalen Radien beschr anken. Da-mit hat die Standardtopologie auf Rnsogar eine abz ahlbare Basis. Ist X eine Menge (zun achst ohne Topologie), so ist nicht jede Menge BˆP(X) Basis einer Topologie auf X(denn Bmuss. kann jeden metrischen Raum X vervollstandig¨ en, genau wie wir im letzten Semester R aus Q konstruierten. B3. Offene Mengen Definition B3.1. [Vgl. I.D1.1.] Sei (X,d) ein metrischer Raum. Fur¨ ε > 0 und x ∈ X heißt B ε(x) := {p ∈ X : d(x, p) < ε} der (offene) ε-Ball um xoder die ε-Umgebung von xin X. Definition B3.2. [Vgl. I.D1.2.] Seien (X,d) ein metrischer Raum und U ⊂ X. Teil betrachten wir die Stetigkeit von Abbildungen zwischen metrischen Räumen.Wir beweisen, dass die Identitätsabbildung zwischen äquivalenten Metriken... Im 5

MP: ε-δ-Kriterium für Stetigkeit / Abwandlungen (Forum

  1. Metrischen Räumen allgemein zu definieren, sowie einige Sätze, die zur Untersu-chung kompakter Mengen dienen, eingeführt werden. §1 Cauchy-Folgen und Beschränktheit In diesem Abschnitt werden Cauchy-Folgen auf metrischen Räumen eingeführt, so-wie das Konzept der Vollständigkeit mit ihnen erläutert. Cauchy Folgen und Vollständigkeit (1.1) Definition (Cauchy-Folgen auf metrischen.
  2. Metrische Räume, in denen Cauchyfolgen auch konvergieren, verdienen unsere besondere Aufmerksamkeit: Definition: Ein metrischer Raum \( (X,d) \) heißt vollständig oder ein Banachraum, falls jede Cauchyfolge aus \( X \) auch in \( X \) konvergiert. Wie für den Zahlenraum \( \mathbb R, \) so beweist man auch den Satz: Der metrische Raum \( (\mathbb R^n,d) \) mit der von einer beliebigen Norm.
  3. 6 INHALTSVERZEICHNIS 12.4 Das Epsilon-Delta-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 12.4.1 Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
  4. Beispiel 1.2 (Metrische Räume sind topologische Räume). Ist (X;d) ein metrischer Raum [G2, Definition 23.8] und bezeichnet U r(a):=fx 2X : d(x;a)<rg für a 2X und r 2R >0 wie üblich die offene Kugel vom Radius r um a, so wissen wir aus den Grundlagen der Mathematik bereits, dass X dann zu einem topologischen Raum wie in Definition 1.1wird, wenn wir eine TeilmengeU ˆX offen nennen.

Hallo. 1. 1/ε ist i.A, keine ganze Zahl, deshalb N>1/ε, und so ein N zu jedem ε brauchst du ja nach der Definition von Konvergenz, von der du sagst, dass sie dir einleuchtet Ein metrischer Raum ist eine Menge gemeinsam mit einer Abbildung , die die Metrik auf genannt wird und die folgenden drei Eigenschaften erfüllt: (Definitheit) Für alle gilt . (Symmetrie) Für alle gilt . (Dreiecksungleichung) Für alle gilt . Intuitiv ausgedrückt weist eine Metrik auf einer Menge je zwei Punkten ihre Distanz (ihren Abstand) zu. In dieser Auffassung besagt die Definitheit. 1 Metrische und normierte Räume • Was können Sie mir über metrische Räume erzählen? - Weil wir uns für Konvergenz interessieren, benötigen wir den Begriff der (Epsilon-)Umgebung. Das wiederum bedeutet, dass wir Abstände bestimmen wollen, wozu wir die Abstandsfunktion d benötigen. - Definition und Eigenschaften einer Metrik hingeschrieben. - Beispiele für Metriken.

Beispiele metrischer Räuime - Mathepedi

Die Behauptung ist damit gezeigt.\bigbox \big\ Korollar 1: Jede endliche Teilmenge eines metrischen Raums (M, d) ist abgeschlossen. \bigbox \big\ Satz 2: Sei (M, d) ein metrischer Raum und A\subset\ M eine Teilmenge. Dann sind der Rand \delta A, der Abschluss A^(-) abgeschlossen und das Innere A^( \circ\ ) offen. \stress\ Beweis: \darkblue\ Der Rand \delta A ist abgeschlossen. Um zu zeigen, dass \delta A abgeschlossen ist, müssen wir zeigen, dass M\\\delta A offen ist. Sei x\el. Aufgabe 2 (metrische Räume) i) ZeigenSie,dassoffeneKugelnoffenundabgeschlosseneKugelnabgeschlossensind. ii) Finden Sie einen metrischen Raum und eine offene Kugel, sodass der Abschluss dieser Kugel nichtmitderabgeschlossenenKugelübereinstimmt. Lösung i) Zuzeigenist: B (x) := fy2M,sodassd(x;y) <gistoffen,jederPunktenthältalsoeine 7 Metrische Räume Beweis: Es ist d(x,z) ≤d(x,y) + d(y,z), also ist d(x,z) −d(y,z) ≤d(x,y). Zeige genauso, daß d(y,z)−d(x,z) ≤d(y,x) = d(x,y) ist. Zusammen ist dann |d(x,z)−d(y,z)|≤d(x,y). 7.2.2 Beispiele (1) Esei normierter Raum mit der Norm k.k. Dann ist d(x,y) := kx−ykeine Metrik, insbesondere (2) IRnmit Euklidmetrik: d(x,y.

Ein metrischer Raum (X;d) heisst zusammenh angend wenn er sich nicht als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer o ener Teilmengen darstellen l asst, d.h. wenn f ur je zwei o ene Teilmengen U;V ˆXfolgendes gilt: U[V = X; U\V = ; =) U= ; oder V = ;; das heisst, dass die leere Menge und der ganze Raum die einzigen Teilmengen von Xsind, die sowohl o en als auch abgeschlossen sind. Eine. T1.Sei X eine Menge. Betrachte X als metrischen Raum mit der trivialen Metrik. Beschreiben Sie die o enen und abgeschlossenen eilmengenT von X. Lösung Wir wissen aus der orlesungV bereits, dass ;und Xin metrischen Räumen sowohl o en als auch abgeschlossen sind. Auÿerdem sind auch Punktmengen (beziehungsweise Singletons) fxgfür x2Ximmer abgeschlossen Metrische R¨aume 3 Satz 1 (1) Die leere Menge ∅ und die Menge X selbst sind offen. (2) Ist {U α} α∈A eine beliebige Familie von offenen Teilmengen von X, so ist ihre Vereinigung S α∈A U α offen. (3) Sind U1 U n (mit n ≥ 1) offene Teilmengen von X, so ist ihr Durch-schnitt T n k=1 U k offen. Beweis (1) Dies ist klar. (2) Setze U = S α∈A

paktheitskriterium f ur Teilmengen des Raumes der stetigen Funktionen gibt uns der Satz von Arzel a-Ascoli. Sei (X;d) ein kompakter metrischer Raum und C(X) der Raum der ste-tigen Funktionen f: X!R. In der Vorlesung haben wir gezeigt, dass dieser Raum mit der Supremumsnorm kfk:= sup x2X jf(x) Definition B3.1. [Vgl. I.D1.1.] Sei (X,d) ein metrischer Raum. Fur¨ ε > 0 und x ∈ X heißt B ε(x) := {p ∈ X : d(x, p) < ε} der (offene) ε-Ball um xoder die ε-Umgebung von xin X. Definition B3.2. [Vgl. I.D1.2.] Seien (X,d) ein metrischer Raum und U ⊂ X eine Teilmenge. Ein Punkt p ∈ U heiß Dies ist eine Verallgemeinerung des Heine-Borel-Theorems , das besagt, dass jeder geschlossene und begrenzte Unterraum S von R n kompakt und daher vollständig ist. Sei ( X , d ) ein vollständiger metrischer Raum. Wenn A ⊆ X eine geschlossene Menge ist, ist auch A vollständig. Sei ( X , d ) ein metrischer Raum

5.1 Metrische Räume 5.1 Metrische Räume DEFINITION 1 Sei Xeine Menge. Eine Abbildung d: X X! R + heißt Metrik oder Distanz (auf X), falls für alle x;y;z2 Xgilt (a) Dreiecksungleichung d(x;z) 6 d(x;y)+d(y;z) (b) Symmetrie d(x;y) = d(y;x) (c) Trennung d(x;y) = 0 x= y. Man sagt, daßdas Paar (X;d) oder einfach X, wenn die Metrik dklar bestimmt ist, ein metrischer Raum ist. BEISPIEL 1 Die. Ausgehend vom Abstandsbegriff zwischen Punkten werden in diesem Kurs sogenannte metrische Räume untersucht und in ihnen die wichtigsten topologischen und uniformen Begriffe behandelt: Kompaktheit, Zusammenhang und Vollständigkeit. Am Schluss des Kurses wird ein Ausblick auf die Theorie allgemeiner topologischer Räume gegeben. Der Kurs bietet eine gute Vorbereitung auf die Kurse 01354 (Topologische Räume) und 01352 (Algebraische Topologie). Er führt jedoch auch in funktionalanalytische. Publisher Name Springer, Berlin, Heidelberg. Print ISBN 978-3-540-76806-7. Online ISBN 978-3-540-76807-4. eBook Packages Life Science and Basic Disciplines (German Language) Buy this book on publisher's site. Reprints and Permissions. Personalised recommendations. Metrische und Topologische Räume. Cite chapter Es seien (X,dx) und (Y,dx) metrische Räume, und ·eine beliebige Norm auf R2. Wir definieren d : (X×Y)×(X ×Y) → R≥0 durch d((x 1,y 1),(x 2,y 2)):= ||dx(x 1,x 2),dy(y 1,y 2)|| (a) Zeigen Sie, dass d eine Abstandsfunktion ist, und damit X×Y zu einem metrischen Raum wird. b) Sei nun F : X ×Y → R eine stetige Funktion auf dem Produktraum. Zeigen Sie: Für alle x ∈ X ist die Einschränkung Fx : Y → R, Fx(y) := F(x,y) stetig auf Y. Ebenso ist Fy : X →R, Fy(x) := F(x,y) stetig

Folgen und Konvergenz in metrischen Räumen - Mathepedi

Und für das Epsilon-Delta Kriterium gilt ja, dass ist. Kann man das so machen, oder ist das komplett falsch? 06.06.2016, 12:55: klarsoweit: Auf diesen Beitrag antworten » RE: Stetigkeit metrischer Raum. Zitat: Original von tobi1994: Wie kommst du auf diese Ungleichung? 06.06.2016, 13:10 : tobi1994: Auf diesen Beitrag antworten » Da habe ich die Vierecksungleichung im metrischen Raum. In diesem Fall nennt man Mmit der Metrik d einen metrischen Raum. Wir sammeln erste einfache Eigenschaften von Metriken und werden dabei auch sehen, dass wir damit wirklich ein verallgemeinertes Konstrukt haben, denn jede Norm erzeugt auch eine Metrik. Satz 1.12. (a) Es sei (M,d) ein metrischer Raum. Dann gilt d(x,y) ≥0 f¨ur alle x,y∈M. (b) Es sei (M,d) ein metrischer Raum und N ⊆M sei. I Nicht jeder metrische Raum ist normiert. Z.B. kommt die diskrete Metrik nicht aus einer Norm (auˇer, wenn X = f0g), denn sonst 2kxk= k2xk= d(2x;0) = 1 = d(x;0) = kxk 8x 6= 0 ; also 1 = 0. 15/439. Funktionalanalysis Delio Mugnolo Banach-, normierte und metrische R aume Analytische Versionen von H{B Geometrische Versionen von H{B Funktionale Re exive R aume und schwache Topologien Intermezzo. totale Beschränktheit und Kompaktheit metrischer Räume; Zusammenhangseigenschaften metrischer Räume, Cantorsches Diskontinuum; Funktionenräume, gleichmäßige und einfache Konvergenz von Funktionenfolgen, Hilbert-Quader, Strukturanalyse gewisser Klassen metrischer Räume; Nachbarschaftsräume und topologische Räume Metrische Räume sind allgemeine Mengen, die mit dem Begri eines Abstandes versehen sind. Dieses ist wichtig, da man nur über den Limes einer Punktfolge sprechen ann,k wenn der Abstand zwischen olgegliedF und Grenzwert quanti zierbar ist. Die Limesbildung ist notwendig, um später den Begri einer Ableitung (den Grenzwert von Di erenzenquotienten) einführen zu können. [1.1] De nition.

Das kartesische Produkt metrischer Räume. Es seien (M 1, d 1) und (M 2, d 2) metrische Räume. Auf dem kartesischen Produkt M = M 1 × M 2 = {(m 1, m 2) | m 1 ∈ M 1, m ∈ M 2} definieren wir die Funktion d ((m 1 ′, m 2 ′), (m 1 ″, m 2 ″)) = d 1 (m 1 ′, m 1 ″) + d 2 (m 2 ′, m 2 ″) für m 1 ′, m 1 ″ ∈ M 1 und m 2 ′, m 2 ″ ∈ M 2. A U F G A B E 2.5.6. Beweisen Sie. Stetigkeit in metrischen Räumen im Mathe-Forum für Schüler und Studenten Antworten nach dem Prinzip Hilfe zur Selbsthilfe Jetzt Deine Frage im Forum stellen Mit dem obigen ist R also ein metrischer Raum. Ist ( X;d ) ein beliebiger metrischer Raum, x 0 2 X und > 0 , dann heit K ( x 0 ; ) = fx 2 X : d ( x 0 ;x ) < g die ofiene -Kugel um x 0 mi Vorlesung Geometrie metrischer Räume (SS 2001/02) Dozent: Thomas Schick. Zeit: Dienstags und Freitags, 11:15-13:00 Ort: HS 5 (Nebengebäude) Skript , : Achtung, noch in Arbeit, unvollständig und möglicherweise nicht fehlerfrei. Vorlesungsankündigung: Metrische Räume sind in den letzten Jahren verstärkt ins Blickfeld der Forschung getreten. Sie treten häufig in natürlicher Weise auf.

Daher ist jeder metrischer Raum auf natuliche Weise¨ ein toplogischer Raum. Hierbei kann es sein, dass zwei verschiedene Metriken auf X ein und die selbe Topologie erzeugen (siehe aquivalente Metriken). Daher unterscheidet man¨ 1. zwischen topologischen und metrischen Eigenschaften. Die folgende Tabelle fasst einige Begriffe zusammen topologisch metrisch offen Kugel abgeschlossen Durchmesser. Der metrische Tensor dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten. Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind. Für die Differentialgeometrie. Man nennt dann (M,d) einen metrischen Raum. Oft sprechen wir ein-fach von einem metrischen Raum M und bezeichnen die Metrik durchweg mit d. Konvergenz definiert man nun folgendermaßen: Definition 1.1.2. Sei M ein metrischer Raum, (xn)n∈N eine Folge in M und x∈ M. Man sagt, (xn)n∈N konvergiert gegen x und schreibt lim n→∞ xn = x oder xn → x (n→ ∞), falls f¨ur alle ε>0 ein Kapitel VIII Normierte, metrische und topologische R˜aume Die Rechenregeln in 2.7 zeigen, da auch kk1eine Norm fur˜ den Rnist. Da n= 1 zugelassen ist, ist also insbesondere R= R1 ein normierter Raum. Hier ist der Betrag jjgleich jeder der Normen kkpf˜ur 1 •p•1: 33.3 Der Raum B(D) der beschr˜ankten Funktionen mit der Nor Vollständige metrische Räume. Monoton fallende Folgen abgeschlossener Mengen. Vollständigkeit und kontrahierende Abbildungen. Vervollständigungen. Satz von Baire. Vollständigkeit und Kompaktheit. 195 Kapitel 15 FUNKTIONENRÄUME Funktionenräume. Die punkt-offene Topologie. Punktweise Konvergenz. Gleichmäßige Konvergenz. Der Funktionenraum C[0, 1]. Gleichmäßige Beschränktheit.

die Supremumsnorm auf V definiert, die V zum metrischen Raum macht (vgl. Def. 1.2 und die darauffolgende Bemerkung). 4. Bereits bei der Einf¨uhrung der beschr ¨ankten Metrik d1 haben wir gesehen, dass kei-neswegs alle Metriken von Normen abstammen. Hier ein extremes und ziemlich exotisches Beispiel: Beispiel 1.6 Sei X eine beliebige Menge und d : X ×X → R definiert durch d(x,x) := 0. Vorbemerkungen über metrische Räume 56. Definition des metrischen Raums. Beispiele 271 57. Der Umgebungsbegriff in metrischen Räumen 275 Definition und einfachste Eigenschaften topologischer Räume 58. Definition des topologischen Raums durch Umgebungssysteme 278 59. Häufungspunkte und Berührungspunkte 281 60. Offene und abgeschlossene Mengen 282 61. Kern und Hülle einer Menge 287 62. £. Y) metrische R¨aume. Eine Abbildung f : X → Y heißt stetig, falls ∀x0 ∈ X ∀ε > 0 ∃δ > 0 | ∀xmit d X(x,x0) < δ giltd Y(f(x),f(x0)) < ε. Ich habe die Definition absichtlich in der Form gegeben, in welcher sie in der Analysis-Vorlesung vorkommt. Wir k¨onnen die Definition auch wie folgt umformulieren (nur die zweite H¨alfte de Kompakter Raum. Kompaktheit ist ein zentraler Begriff der mathematischen Topologie, und zwar eine Eigenschaft, die einem topologischen Raum zukommt oder nicht. Sie wird in vielen mathematischen Aussagen vorausgesetzt - oft auch in abgeschwächter Form als Lindelöf-Eigenschaft oder Parakompaktheit. Lokalkompaktheit ist im Falle von Hausdorff-Räumen ebenfalls eine abgeschwächte Bedingung

1 Aufgabe (abgeschl. TM eines vollst. metr. Raumes) 1.1 Tipps 1.2 Lösung 1.3 Suchbegriffe 1.4 Quellen 1.5 ähnliche Aufgaben Sei ein vollständiger metrischer Raum und abgeschlossen, so ist auch ein vollständiger metrischer Raum. benutze Cauchyfolgen zu zeigen: Ist eine Cauchfolge in , so existiert mit . Beweis: Sei Cauchy-Folge in ist Cauchy-Folge in X mit . ist aber abgeschlossen . q.e.d. Insbesondere ist Rnein metrischer Raum mit dem ublichen euklidischen Abstandsbegri . De nition 1.3 Sei Xein metrischer Raum. Die o ene Kugel um x 0 mit Radius r>0 ist B r(x 0) = fx2X: d(x;x 0) <rg: Bezuglich der Euklidischen Norm auf Rngilt also wie gewohnt B r(x 0) = fx2Rn: jx x 0j<rg: Es ist instruktiv, sich die Kugeln B r(x 0) f ur die franz osische Eisenbahnmetrik aus (1.3) sowie die. Ein metrischer Raum (X;d) heiˇt vollst andig, falls jede Cauchy-Folge in Xkonvergiert. 1.3 Der Satz von Baire De nition 1.12. AˆXheiˇt dicht in X, falls A= Xgilt. Aheiˇt nirgends dicht, falls Akeine inneren Punkte enth alt. Bemerkung 1.13. Das Innere von Aist de niert durch: int(A) := fx2X: 9>0;B (x) ˆAg: Dabei heiˇt ein x2int(A) innerer Punkt von Aund es gilt die Inklusion int(A) ˆA. Ein metrischer Raum, der als topologischer Raum diskret ist, muss allerdings nicht die diskrete Metrik besitzen, und auch nicht vollständig sein. Zum Beispiel ist die im Abschnitt Diskrete Teilmenge der reellen Zahlen angegebene Menge M = { − 1 / n , 1 / n ∣ n ∈ N } {\displaystyle M=\{-1/n,1/n\mid n\in \mathbb {N} \}} ein diskreter topologischer Raum, aber der Grenzwert 0 der. Die clevere Online-Lernplattform für alle Klassenstufen. Interaktiv und mit Spaß! Anschauliche Lernvideos, vielfältige Übungen, hilfreiche Arbeitsblätter

Mathematik: Topologie: Topologie Umgebung Basis

W=Z für Folgen. Die Vervollständigung von K(W) bezüglich der 'p-Norm ist der Raum 'p(W;K) der p-summierbaren Folgen. Für verschiedene Exponenten 1 p<q ¥ sind dies verschiedene Räume 'p(W;K) 6= 'q(W;K). Um diese Normen bequem zu verglei-chen, nutzen wir hier den gemeinsamen Teilraum K(W), der in jedem 'p(W;K) liegt 1.2 konnte ich leider nicht durch rechnen, aber im Prinzip gehst du bei metrischen Räumen genauso vor wie beim epsilon delta Kriterium. Nur das du anstatt mit dem Betrag mit der gegebenen Metrik arbeitest. Häufig greift man auf die Dreiecksungleichung zurück. 1.3 in 1.2 zeigst du das pr eine stetige Funktion ist Metrische Räume Unter metrischen Räumen versteht man Mengen, bei denen man einen Abstand zwischen zwei Elementen bestimmen ann.k Dadurch lassen sich ge-wisse geometrische Argumente auf metrische Räume übertragen. Insbesonde-re annk man dann solche Argumente auf gewissen Räumen von unktionenF verwenden. 1. Metriken Zunächst de nieren wir Metriken. Ein Abstand ordnet zwei Punkten eine.

Ein metrischer Raum heißt total beschränkt, wenn für ihn zu jedem ε>0 eine offene Überdeckung durch endlich viele ε-Kugeln existiert. Hilfssatz 1: Jede offene Überdeckung eines folgenkompakten Raums besitzt eine Lebesgue Zahl. Hilfssatz 2: Ein folgenkompakter metrischer Raum ist total beschränkt Für metrische Topologien gibt es ein weiteres Kriterium für Stetigkeit, das soge-nannte -Kriterium : Lemma 1.1.2.23 (StetigkeitinmetrischenTopologien) . Seien (X;d X) und (Y;d Y) metrische Räume und f : X ! Y eine Abbildung. f ist bezüglich der jeweiligen Topologien T d X bzw. T d Y genau dann stetig, wenn zu jedem > 0 ein > 9.1.9 Beispiel. Wir wollen uns nun weitere Beispiele von normierten Räumen ansehen. (i) Ist E eine nichtleere Menge und (Y;k:kY) ein normierter Raum. Wir betrachten den Raum B (E ;Y ) aller beschränkten Abbildungen von E nach Y . Dieser Raum wurde schon im ersten Semester betrachtet, wobei aber Y allgemeiner ein metrischer Raum war; vgl. Denition 6.6.3. In unserem Fall ist mit Y auch B (E ;Y ) ein Vektorrau Der geodätische metrische Raum ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt Räume, in denen man zu je zwei Punkten eine kürzeste Verbindungskurve finden kann. Der Begriff verallgemeinert das Konzept der vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf allgemeine metrische Räume. In der Literatur finden sich auch die Bezeichnungen Längenraum oder innerer metrischer Raum Ein metrischer Raum ist ein Paar (X;d) aus einer Menge X6= ? und einer Metrik dauf X. Beispiele 1.2. Einfache Beispiele metrischer R aume sind (a) R zusammen mit der Betragsmetrik d(x;y) = jx yj, (b) R noder C mit der Summenmetrik d((x i);(y i)) = P n i=1 jx i y ij. (c) Ist (X;d) ein metrischer Raum und ist AˆXeine nichtleere Teilmenge, so de niert d A: A A!R;

metrischen Raumes (X;d) heiˇt kompakt, wenn der metrische Teilraum (K;d) kompakt ist. Bewiesen haben wir, dass jede kompakte Teilmenge K eines metrischen Raumes (X;d) abgeschlossen und beschr ankt ist. Im Kn gilt dies aufgrund des Satzes von Bolzano-Weierstraˇ mit Aquivalenz, aber in allgemeinen metrischen R umen is Lokal: Kugeloberfläche kann durch einen euklidischen Raum (zweidimensionale Tangentialebene) approximiert werden. Global: Bewegung erfolgt im gekrümmten Raum Die ART erfordert Behandlung gekrümmter Räume (Riemannsche Mannigfaltigkeit) 2.1 Bewegung im Gravitationsfeld: Geodätengleichung der ART Wegelement: @ O L ¥ C @ T @ T Eine Metrik ist in der Mathematik eine Funktion, die je zwei Elementen der Menge einen nichtnegativen reellen Wert zuordnet. Dieser Wert wird als Abstand der beiden Punkte voneinander bezeichnet. Unter einem metrischen Raum versteht man eine Menge, auf der eine Metrik definiert ist. Zu einer Menge kann es mehrere Metriken geben De niton 5 (metrischer Raum) Sei Xeine beliebige Menge und d: X X! R eine Abbildung. Besitzt dfür alle x;y;z2Xdie Eigenschaften 1. d(x;y) 0 und d(x;y) = 0 ,x= y(positive De nitheit) 2. d(x;y) = d(y;x) (Symmetrie) 3. d(x;z) d(x;y)+d(y;z) (Dreiecksungleichung), so heiÿt (X;d) ein metrischer Raum . Satz 2 (S2;d S2) ist ein metrischer Raum. Beweis 1. Metrische Räume 1.1. Kleine Umgebungslehre. Um die bekannten Begriffe der Analysis 1 zu verallgemeinern, definieren wirzunächsteinenAbstandsbegriffaufabstraktenMengen. Definition1. SeiMeineMenge.EineFunktiond: M M![0;1) heißtMetrik,fallsfürallex;y;z2M gilt (i)Definitheit:d(x;y) = 0 ()x= y (ii)Symmetrie:d(x;y) = d(y;x Das Paar (X;d) heiˇt dann metrischer Raum und f ur zwei Punkte x;y2Xheiˇt d(x;y) der Abstand von xund y. Ein metrischer Raum ist also eine Menge X, auf der man mit Hilfe einer Funktion d: X X! [0;1) jedem Paar von Punkten fx;ygeinen Abstand d(x;y) 2[0;1) zuweist. 1.2 Beispiele.Euklidische und diskrete Metrik (a)Sei X= Rn

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